Échantillonnage, quantification et repliement : comment ne pas enregistrer une fausse mesure

Le théorème, et ce qu'il ne dit pas

Le théorème d'échantillonnage dit qu'un signal ne contenant aucune énergie au-dessus d'une fréquence peut être reconstruit exactement à partir d'échantillons pris à plus du double de cette fréquence. Chaque mot compte, et deux d'entre eux sont presque toujours négligés : « ne contenant aucune énergie au-dessus » parle du signal analogique, pas de la partie qui vous intéresse ; et « reconstruit » suppose une interpolation idéale, pas un tracé qui relie les points.

Le théorème est donc un plancher, et le prendre pour un objectif produit deux déceptions. Une sinusoïde à cent hertz échantillonnée à deux cent cinquante hertz satisfait Nyquist et peut malgré tout afficher une amplitude de crête inférieure de plusieurs pour cent, parce qu'aucun échantillon n'est tombé sur le sommet. Et un signal comportant de l'énergie au-dessus de votre bande d'intérêt — c'est-à-dire tout signal réel — replie cette énergie dans votre bande à moins que quelque chose ne l'ait arrêtée avant le convertisseur.

Le repliement, démontré une fois pour toutes

Ce schéma résume tout le sujet. Un signal à sept périodes échantillonné sur huit intervalles produit exactement les mêmes neuf valeurs qu'un signal à une période : aucun algorithme ne peut donc les distinguer, car l'information qui les séparait a été détruite à l'instant de l'échantillonnage, et non perdue quelque part en aval.

Trois conséquences en découlent, et elles justifient cet article. Le repliement est un phénomène analogique qui se produit avant le convertisseur : aucun filtrage numérique ultérieur ne le traite. Un repliement est indiscernable d'un signal authentique : il n'a donc pas l'air d'une anomalie, il a l'air d'une découverte. Et la fréquence repliée n'est pas aléatoire : une énergie située au-dessus de la moitié de la cadence apparaît à la différence, ce qui explique qu'une vibration à 2 kHz échantillonnée à 2,4 kHz se présente comme une très convaincante oscillation à 400 Hz.

Le filtre anti-repliement, et pourquoi le suréchantillonnage le rend peu coûteux

La seule protection est un filtre passe-bas analogique avant le convertisseur, et son travail consiste à atténuer tout ce qui se trouve au-dessus de la moitié de la cadence en dessous du plancher de bruit du convertisseur. La difficulté dépend entièrement de la place que vous lui avez laissée, et le calcul vaut d'être fait une fois.

Un filtre décroît d'environ six décibels par octave et par pôle. Échantillonnez à dix fois votre fréquence maximale d'intérêt et il reste 2,3 octaves entre le haut de votre bande et la moitié de la cadence — un filtre à quatre pôles y délivre quelque cinquante-cinq décibels d'atténuation, ce qui est largement suffisant. Échantillonnez plutôt à deux fois et demie, et il ne reste que 0,3 octave : le même filtre à quatre pôles donne huit décibels, et aucun filtre analogique réalisable ne vous sauvera.

C'est la vraie raison du suréchantillonnage, et c'est un argument économique plutôt que puriste : la cadence que vous pouvez payer en bits par seconde vous achète le filtre que vous n'avez pas à construire.

Le filtre a aussi un coût qu'on oublie facilement. Il retarde le signal, et ce retard varie avec la fréquence sauf s'il est spécifiquement à phase linéaire. Deux voies réglées avec des filtres différents arrivent donc avec des retards différents — et si vous comptez les comparer, cette différence de retard est une erreur de phase que vous mesurerez et attribuerez à l'appareil.

Choisir la cadence : le facteur cinq à dix

En rassemblant les deux arguments, on obtient la règle de travail. Cinq à dix fois la fréquence maximale d'intérêt : assez pour une courbe temporelle lisible, assez d'exactitude d'amplitude sans interpolation, et assez de place pour un filtre analogique modeste suivi d'un traitement numérique.

En dessous de trois fois, vous comptez sur une reconstruction idéale et un filtre très raide. Au-delà de vingt fois, vous payez des bits par seconde pour une résolution que vous auriez pu obtenir en suréchantillonnant puis en décimant — ce qui est la section suivante, et la voie la plus efficace.

Quantification : les bits que vous avez, et ceux que vous utilisez

Un convertisseur de N bits sur une étendue R a un pas égal à R divisé par deux puissance N. Seize bits sur ±10 V donnent un pas d'environ 305 microvolts, et le bruit de quantification qui l'accompagne fixe un rapport signal sur bruit d'environ six décibels par bit plus deux — soit quelque quatre-vingt-dix-huit décibels à pleine échelle.

C'est dans le « à pleine échelle » que les bits disparaissent. Un signal qui n'utilise jamais que cinq pour cent de l'étendue d'entrée est un signal enregistré avec 4,3 bits de moins que ce que promet la fiche technique : un convertisseur seize bits qui délivre une mesure à onze bits et demi. C'est le même argument que le gain de conditionnement, vu par l'autre bout, et c'est la perte de résolution la plus fréquente dans les installations réelles.

Le nombre effectif de bits — ENOB — est le chiffre honnête : ce qui reste après le bruit et la distorsion propres du convertisseur et, plus important, après l'amplificateur et le choix d'étendue en amont. Personne ne devrait citer une résolution de convertisseur pour une mesure : la mesure a un ENOB, et il est toujours plus bas.

Suréchantillonner et décimer : acheter des bits avec du débit

Moyenner M échantillons consécutifs d'un signal dont le bruit est décorrélé améliore le rapport signal sur bruit de dix fois le logarithme de M — autrement dit, chaque facteur quatre sur la cadence achète un bit de résolution effective. Échantillonnez seize fois plus vite que nécessaire, moyennez, et vous avez gagné deux bits gratuitement dans tous les sens du terme sauf le débit en entrée.

C'est ainsi qu'un système bâti sur un convertisseur seize bits délivre une performance à dix-huit bits, et c'est aussi pourquoi suréchantillonner puis décimer numériquement vaut généralement mieux qu'un filtre analogique raide : le filtre numérique peut être à phase linéaire, identique sur toutes les voies, et modifié après le vol si vous vous êtes trompé de fréquence de coupure.

La condition, c'est que le bruit soit décorrélé. Moyenner ne fait rien contre une perturbation périodique à une fréquence liée à votre cadence, et absolument rien contre un repliement — qui était déjà indiscernable du signal avant que vous ne moyenniez.

Déphasage entre voies, et ce qu'il fait à une corrélation

Deux voies ne sont comparables que si elles ont été échantillonnées au même instant. Les étages d'entrée qui multiplexent un convertisseur sur plusieurs entrées ne le font pas : ils échantillonnent en séquence. Seize voies partageant un convertisseur à cent kiloéchantillons par seconde cumulés, cela fait dix microsecondes entre voisines, et cent cinquante microsecondes entre la première voie et la seizième.

Sur un signal à un kilohertz, cent cinquante microsecondes représentent cinquante-quatre degrés de phase. Toute analyse qui compare la phase entre ces deux voies — déformées modales, fonctions de transfert, chemins d'effort, tout ce qui comporte un tracé de cohérence — mesure le système d'acquisition et l'appelle la structure.

Les remèdes sont connus et méritent d'être spécifiés délibérément : un étage d'entrée à échantillonnage simultané, avec un convertisseur par voie, ou un décalage documenté et corrigé au traitement. Ce qui n'est pas acceptable, c'est de ne pas savoir lequel des deux on a.

Les erreurs, rassemblées

• Prendre Nyquist pour un objectif. C'est un plancher, et un signal reconstruit au plancher n'est pas une courbe lisible par qui que ce soit.
• Un filtre qui ne correspond pas à la cadence réellement attribuée à la voie — généralement parce que la cadence a changé et le filtre non.
• Des filtres différents sur deux voies que vous allez comparer, ce qui fabrique un déphasage à partir de rien.
• Une étendue d'entrée très supérieure au signal, ce qui jette des bits avant le premier échantillon.
• Moyenner pour réduire un bruit qui n'est pas aléatoire, ou pour retirer un repliement, ce qui est déjà impossible.
• Supposer qu'un étage d'entrée multiplexé échantillonne simultanément.
• Et celle qui masque toutes les autres : aucun contrôle spectral d'une voie brute avant la campagne. Dix minutes avec un spectre sur un établi trouvent tous les repliements que vous étiez sur le point d'enregistrer.

Ce dernier point résume tout l'article sous forme pratique. Regardez une fois le spectre de chaque famille de capteurs, à une cadence bien supérieure à celle que vous comptez utiliser, et voyez ce qui s'y trouve réellement. Tout ce que vous découvrez au-dessus de votre bande utile est ce que votre filtre doit retirer — et si vous sautez ces dix minutes, le filtre est une supposition.